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Kane-Mele 模型

Hamiltonian

$$ H=t\sum_{}c_i^{\dagger}c_j+i\lambda_{SO}\sum_{<>}v_{ij}c_i^{\dagger}s^zc_j+i\lambda_R\sum_{}c_i^{\dagger}(s\times\hat{d}{i,j})_zc_j+\lambda{v}\sum_i\xi_ic_i^{\dagger}c_i $$

kane-mele模型考虑了以下作用：

  • 最近邻跃迁
  • 本征自旋轨道耦合
  • Rashba自旋轨道耦合
  • 子晶格项(质量项/onsite energy)

0. 定义

image-20250106201606668 $$ \boldsymbol{a}_1=a(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),\boldsymbol{a}_2=a(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) $$

$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2$是原始向量^1，$a$是A原子到A原子的距离。

从B到A原子的矢量是： $$ \delta_1=\frac{a}{\sqrt{3}}(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}),\delta_2=\frac{a}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}),\delta_3=\frac{a}{\sqrt{3}}(0,-1) $$ 所以有： $$ \bold{a}_1=\delta_1-\delta_3=\frac{a}{\sqrt{3}}(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})-\frac{a}{\sqrt{3}}(0,-1)=a(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}), \\ \bold{a}_2=\delta_2-\delta_3=\frac{a}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})-\frac{a}{\sqrt{3}}(0,-1)=a(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) $$

1. 最近邻跃迁

在${{\Psi_{kA\uparrow},\Psi_{kB\uparrow},\Psi_{kA\downarrow},\Psi_{kB\downarrow}}}$的basis下， $$ t\sum_{}c_i^{\dagger}c_j= $$

附录