【文献阅读】Haldane 模型
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摘要
- 提出了可以在没有外部磁场时的非零量子化霍尔电导的晶格模型
- 在模型参数的临界值处出现没有光谱倍增的无质量费米子，并表现出(2+1)维场论的“宇称反常”
正文
二维电子系统中的量子霍尔效应 (QHE) 通常与外部产生的均匀磁场的存在相关，该磁场将电子能级谱分裂为朗道能级。但是QHE也可以通过时间反演对称性破缺（磁序）产生。电子态保留布洛赫态特征。
参数在临界线上时，出现无质量费米子，表现出宇称反常和手性。
在零温极限下，费米能级单粒子态密度有间隙的周期性二维电子系统的横向电导率 o "3' 取量子化值 ve /h，其中 v 一般是有理数，但可以仅在没有电子相互作用的情况下取整数值。纯系统的这一特性对于足够弱的无序效应是稳定的，因为 a” 在时间反转下是奇数，因此只有在时间反转不变性被破坏的情况下才会出现非零值。
在通常的 QHE 中，费米能级的能隙是由于外部磁场将光谱分裂成朗道能级而产生的。这里考虑的情况是不同的，涉及二维半金属，其中在价带顶部和导带底部之间的布里渊区的孤立点处存在简并，这与反演对称性和反演对称性的存在相关。时间反转不变性。如果反演对称性被破坏，则能隙打开，系统变成普通半导体（v=0），但如果由于时间反转不变性被破坏而导致能隙打开，则系统变为 v=+ 1 整数 QHE 状态。如果两种扰动都存在，则它们的相对强度决定了实现了哪种类型的状态。
为了模拟 2D 半金属，我使用 Semenoff 先前研究的“2D 石墨”模型作为具有异常的 (2+I)-D 场论的可能晶格实现。二维石墨具有蜂窝状网状结构，由两个互穿的三角形晶格（“A”和“8”子晶格）组成，每个晶胞各有一个晶格点（图1）。二维反转（即在平面中旋转 tr）交换两个子晶格。由于不包括自旋轨道耦合效应，因此电子自旋将（暂时）受到抑制。
Semenoff 研究了每个位点一个轨道和不同亚晶格上最近邻之间的真实跳跃矩阵元素 t ~ 的紧束缚模型，并且还考虑了反演对称性破缺位点能量 +M 对 /I 位点和 -M 的影响在 8 个站点上。该模型具有点组 Cs„(M=O) 或 C3„ (MAO)。在该模型的原始版本中，存在时间反转不变性，Semenoff 发现由于费米子倍增而完全消除了 M =0 模型中的异常现象，以及 MAO 的正常半导体行为。
我现在在第二个相邻站点之间（即同一子格上的最近相邻站点之间）包含第二个真实跳跃项 tz 。这不会改变空间群，尽管它确实消除了原始模型能带的粒子空穴对称性。为了打破时间反转不变性，我还在垂直于 2D 平面的 z 方向上添加了周期性局部磁通密度 B(r)，具有晶格完全对称性，并且通过晶胞的总通量为零。
由于每晶胞的净通量消失，矢量势 A(r) 可以选择为周期性的。该局部场的效果是将站点之间跳跃的矩阵元素乘以单模相位因子 exp[i(e/l'i) fA dr]，其中积分沿着跳跃路径，我认为该路径是直线的。可以按照任何一致的约定来选择相位，使得围绕闭合路径累积的总相位加起来等于通量量子单位中包含的通量$\Phi_0=|h/e|$
由于第一邻居跳跃的闭合路径包围了完整的单位单元（因此没有净通量），因此矩阵元素不受影响。 t2 矩阵元素获得相位 &=2rr(2@, +Nb)/@o，其中 @ 和 @b 是通过图 1 中标记为 a 和 b 的晶胞区域的通量。其中振幅为 tzexp(+i&)，如图 1 所示： 可以看出，如果局部场存在，哈密顿量就获得了手性。
考虑这种内部磁场起源的可能模型是有用的。磁偶极矩 p，按垂直于平面的铁磁顺序排列，放置在蜂窝网每个六边形单元的中心，B(r) 是它们的偶极场之和。请注意，二维铁磁有序不会产生磁通密度的均匀分量。 p 的绝对值为 Ca p/a，其中 a 是精细结构常数，p 是玻尔磁子单位的偶极矩，a 是晶格间距玻尔半径，C 是无量纲常数（单位阶），取决于晶格结构。如果 p 和 a 在其自然单位中具有有序统一性，则该模型中的相位 p 将是由精细结构常数控制的一个小量。
为了对哈密顿量进行对角化，我使用了在两个子晶格上构造的布洛赫态的双分量“旋量”(y~, y~) 的基础。设a1、a2、a3为从B位点到其三个最近邻A位点的位移，定义为使i a~xa2 为正。我还定义了b~ a2 —a3、b2 a3 —al等；同一子晶格上六个最近邻居的位移集是 [+ b;}。在这种表示中，哈密顿量变为其中 cr' 是泡利矩阵。布里渊区是相对于维格纳-塞茨晶胞旋转 90' 的六边形：在其六个角 (k a1, k a2, k a3) 处是 (0,2rr/3, —2rr/3) 的排列。定义两个不同的角 k，使得 k，b； = (2rr/3) a, a = ~ 1。
能带很容易获得。只有当 (1) 中的所有三个泡利矩阵项都具有消失系数时，才会有两个频带接触。这只能发生在区域角k处，并且只有当M = 3J3at2sinp时。我将假设 )tz/t~ ~ ( —',，这保证两个带永远不会重叠，并且除非它们接触，否则会被有限的间隙分开。
如果 M 和 t2sinp 都消失，则能带在两个区域角接触，其中波矢量组具有酉子组 C3，其中包含交换 A 和 8 子晶格的反射。除了区域中心之外，这些是布里渊区域中该群具有维度大于一的不可约表示的唯一点，并且这些点处的简并态属于二维表示。能带在布里渊区不同点的接触是费米子倍增的表现。这些点处能带的简并性可以通过非零 M 或非零 t2sinp 来提升，这两者都可以将酉子群简化为 C3，而 C3 只具有一维不可约表示。
当费米能级位于两个能带之间的间隙时，a ~ 在 T =0 时被量子化，其值可以通过在 BO=O 时计算的热力学关系 cr" =err/BBo ~ „,T 在 2016 年获得，其中 o是二维电荷密度，Bo 是均匀外部磁场在 z 方向上的磁通密度 要计算弱外部磁场的感应电荷密度 rr，可以方便地在 附近展开哈密顿量。这区域角 k 处的带极值，变为 8k=k —k, 的线性阶，并进行 LandauPeiierls 代入 68k II，其中 II=(II",IP) 是分量满足交换关系 [II", IIr]=ih，eBO。
对于弱Bo，可以忽略两个不同区域角之间的耦合，并获得两个独立的有效哈密顿量H，其中
这里c=',—t~~a; 〜/6和m，c=M—343at2sinp； II', 和 H 是 Hermitian 算子，其交换关系为 [II',, II,] =iaeBoh，定义为
在第二次量子化之后，(2) 正是 Jackiw 研究的自由费米子场理论的哈密顿量，作为狄拉克哈密顿量的 (2+1)-D 模拟。 (2)的谱是相对论性的；对于 80 =0，