积分变换法
思路：
- 列出定解问题
- 对方程和边界条件做傅立叶变换
- 对傅立叶变换后的方程求解
- 做$\tilde u(k,t)$傅立叶逆变换
例题
| 求解无限长细杆热传导问题 $$ \begin{array}{} \begin{cases} u_t=a^2u_{xx} \ u | _{t=0}=\varphi(x) \end{cases} \end{array}{} $$ |
1. 傅立叶变换
\[\begin{cases} \tilde u(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-ikx}dx \\ u(k,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde u(x,t)e^{ikx}dx \end{cases}\]提示
因为x的取值范围是全空间，t只有正半边。
| 得到傅立叶变换之后的定解问题： $$ \begin{cases} \frac{\partial u’(k,t)}{\partial t}=a^2 (ik)^2 u’(k,t) \ u’(k) | _{t=0}=\varphi’(k) \end{cases} $$ 可以看到方程变成了一阶常系数微分方程 |
2.求解一阶常系数微分方程
\[\frac{d \tilde u(k,t)}{dt}=-a^2 k^2 \tilde u(k,t) \\\] \[\frac{d \tilde u (k,t)}{\tilde u(k,t)} = -a^2 k^2 dt\] \[\ln \tilde u =-a^2 k^2 t+c\] \[\tilde u=Ae^{-a^2 k^2 t}\]| 使用边界条件求常数 $$ \tilde u(k,t) | _{t=0}=A=\tilde \varphi(k) \(所以\) \tilde u(k,t)=\tilde \varphi(k)e^{-a^2k^2t} $$ |
3.逆傅立叶变换
\[u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\varphi(x)*\int_{- \infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-a^2k^2t}e^{ikx}dk\]关注积分部分：
\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a^2t(k^2-ikx/a^2t)}dk\]指数上凑平方 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a^2t[(k-ix/{2a^2t})^2-(ix/2a^2t)^2]}dk\) 有公式： \(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\) 可得积分部分为 \(\frac{1}{a\sqrt{2t}}e^{-x^2/4a^2t}\)
带回卷积表达式：
\[u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\varphi(x)*\frac{1}{a\sqrt{2t}}e^{-x^2/4a^2t}\] \[u(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\xi)e^{-(x-\xi)^2/4a^2t}d\xi\]参考
傅立叶变换
- 为什么积分可以证明函数的正交性
正交函数
函数的正交是向量正交的推广
对于向量的正交性的定义是内积为0（即两个向量在各自方向的投影为0） \(X=(x_1,x_2,x_2,\cdots,x_n),Y=(y_1,y_2,y_2,\cdots,y_n)\)
\[X\cdot Y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+\cdots+x_ny_n\]对应到函数：
\[\int_{t_1}^{t_2}\varphi_n(t)\varphi_m^*(t)dt= \begin{cases} 0,&n\ne m \\ K,&n=m \end{cases}\]函数集 ${\varphi_n(t)}$ 在 $(t_1,t_2)$ 区间内正交。
若$K=1$，则函数集为归一化正交函数集