Hamiltonian
\[H=t\sum_{\langle i,j\rangle}c_i^{\dagger}c_j +i\lambda_{SO}\sum_{\langle\langle i,j\rangle\rangle}v_{ij}c_i^{\dagger}s^zc_j +i\lambda_R\sum_{\langle i,j\rangle}c_i^{\dagger}(\mathbf{s}\times\hat{\mathbf{d}}_{ij})_zc_j +\lambda_v\sum_i\xi_ic_i^{\dagger}c_i\]kane-mele模型考虑了以下作用：
- 最近邻跃迁
- 本征自旋轨道耦合
- Rashba自旋轨道耦合
- 子晶格项(质量项/onsite energy)
0. 定义
$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2$ 是晶格基矢，$a$ 是同一子晶格相邻原子之间的距离。
从 B 到 A 原子的三个最近邻矢量是：
\[\delta_1=\frac{a}{\sqrt{3}}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),\quad \delta_2=\frac{a}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),\quad \delta_3=\frac{a}{\sqrt{3}}(0,-1)\]因此 $\boldsymbol{a}_1=\delta_1-\delta_3$，$\boldsymbol{a}_2=\delta_2-\delta_3$。
1. 最近邻跃迁
可以在基底 $(\Psi_{kA\uparrow},\Psi_{kB\uparrow},\Psi_{kA\downarrow},\Psi_{kB\downarrow})$ 下继续写出各项的矩阵形式。