1. Hamiltonian
\[H=M\sum_i\xi_ic_i^{\dagger}c_i+t_1\sum_{\langle i,j\rangle}c_i^\dagger c_j+t_2\sum_{\langle\langle i,j\rangle\rangle}e^{iv_{ij}\phi}c_i^\dagger c_j+h.c.\]
1.1 质量项
\[H_1=M\sum_i\xi_i c_i^\dagger c_i\]
代表在本来的位置上产生和湮灭
1.2 最近邻跃迁（NN）
\[H_2=t_1\sum_{\langle i,j\rangle}c_i^\dagger c_j\]
代表在本来位置上湮灭并在最邻近位置上产生
1.3 次近邻跃迁（NNN）
\[H_3=t_2\sum_{\langle\langle i,j\rangle\rangle}e^{iv_{ij}\phi}c_i^\dagger c_j\]
代表在本来位置上湮灭并在次近邻位置上产生
1.4 哈密顿量转换为矩阵形式
即：写成用$a_k,b_k$来表达的形式
1.4.1 傅里叶变换——($c_i \rightarrow a_k$)
\[H_{NN}=t1\sum_k(a_k^\dagger b_k e^{-ike_1}+a_k^\dagger b_k e^{-ike_2})+a_k^\dagger b_k e^{-ike_3}+t1\sum_{k}(b_k^\dagger a_k e^{ike_1}+b_k^\dagger a_k e^{ike_2}+b_k^\dagger a_k e^{ike_3})\]
\[H_{NNN}=t_2e^{i\phi}\sum_k a_k^\dagger a_k(e^{-ikv_1}+e^{-ikv_2}+e^{-ikv_3})+t_2e^{i-\phi}\sum_k b_k^\dagger b_k(e^{-ikv_1}+e^{-ikv_2}+e^{-ikv_3})\]
1.4.2 使用旋量——(写成矩阵形式)
\[H_{NN}=\begin{pmatrix} 0 & t1(e^{i{kx,ky}.a_1}+e^{i{kx,ky}.a_2}+e^{i{kx,ky}.a_3}) \\ t1(e^{-i{kx,ky}.a_1}+e^{-i{kx,ky}.a_2}+e^{-i{kx,ky}.a_3}) & 0 \end{pmatrix}\]
\[H_{NNN}=\begin{pmatrix} t2(e^{-i{kx,ky}.b_1-i\phi}+e^{i{kx,ky}.b_1+i\phi}+e^{-i{kx,ky}.b_2-i\phi}+e^{i{kx,ky}.b_2+i\phi}+e^{-i{kx,ky}.b_3-i\phi}+e^{i{kx,ky}.b_3+i\phi}) & 0\\ 0 & t2(e^{i\phi-i{kx,ky}.b_1}+e^{i{kx,ky}.b_1-i\phi}+e^{i\phi-i{kx,ky}.b_2}+e^{i{kx,ky}.b_2-i\phi}+e^{i\phi-i{kx,ky}.b_3}+e^{i{kx,ky}.b_3-i\phi}) \end{pmatrix}\]
1.5 Mathematica中写出哈密顿量
\[\left( \begin{array}{cc} 2 \text{t2} \cos (\phi -k.\text{b1})+2 \text{t2} \cos (\phi -k.\text{b2})+2 \text{t2} \cos (\phi -k.\text{b3})+M & -i \text{t1} \sin (k.\text{a1})+\text{t1} \cos (k.\text{a1})-i \text{t1} \sin (k.\text{a2})+\text{t1} \cos (k.\text{a2})-i \text{t1} \sin (k.\text{a3})+\text{t1} \cos (k.\text{a3}) \\ i \text{t1} \sin (k.\text{a1})+\text{t1} \cos (k.\text{a1})+i \text{t1} \sin (k.\text{a2})+\text{t1} \cos (k.\text{a2})+i \text{t1} \sin (k.\text{a3})+\text{t1} \cos (k.\text{a3}) & 2 \text{t2} \cos (k.\text{b1}+\phi )+2 \text{t2} \cos (k.\text{b2}+\phi )+2 \text{t2} \cos (k.\text{b3}+\phi )-M \\ \end{array} \right)\]